«Les mathématiques possèdent non seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d'une sculpture», a dit un jour le mathématicien et philosophe Bertrand Russell.
Yvan Saint-Aubin, professeur au Département de mathématiques et de statistique, est de ceux qui éprouvent ce sentiment esthétique devant les découvertes souvent inattendues réalisées en mathématiques. Il en a même fait l'objet d'une conférence présentée au dernier congrès de la Société mathématique du Canada, conférence reprise en novembre à l'Université Laval à l'occasion des «Grandes Conférences» du Centre de recherches mathématiques.
«Découvrir de nouvelles structures dans ce qui apparait désordonné provoque une grande surprise qui s'apparente à une expérience esthétique, affirme-t-il. Il est difficile d'imaginer, par exemple, qu'on puisse faire des prédictions à partir du mouvement anarchique de boulettes de gras dans un liquide; la beauté des mathématiques, c'est qu'elles permettent de tirer de l'information d'un tel chaos.»
Le mouvement brownien
L'exemple des boulettes de gras est un cas connu sous le nom de «mouvement brownien». En 1827, le biologiste Robert Brown a constaté avec étonnement que des particules microscopiques comme du pollen ou de la poussière en suspension dans l'eau étaient animées d'un mouvement lorsqu'on les observait au microscope.
On sait aujourd'hui que ce mouvement est dû au choc que produisent les molécules d'eau sur les autres particules en suspension, mais il a fallu attendre Einstein, en 1905, pour qu'on puisse tirer de cette observation une prédiction physique importante. En se basant sur la théorie cinétique des gaz, Einstein y a vu la possibilité non seulement de démontrer l'existence des molécules mais également de les dénombrer.
Un tel calcul s'effectue à l'aide d'une formule appelée constante d'Avogadro. «La méthode de calcul élaborée par Einstein a permis de préciser cette constante, qui correspond au nombre d'atomes dans 12 grammes de carbone 12, explique Yvan Saint-Aubin, lui-même physicien de formation. L'observation d'un phénomène biologique chaotique a ainsi mené à des prédictions physiques, puis à des résultats mathématiques très précis.»
C'est ce genre de découverte qui séduit les mathématiciens. À la suite des travaux théoriques d'Einstein, le physicien Jean Perrin (Nobel de physique en 1926) est parvenu à établir la constante d'Avogadro par 13 méthodes, ce qui a suscité chez lui «un profond sentiment d'admiration [...] devant le miracle de concordances aussi précises à partir de phénomènes si différents».
Les fractales dans l'œuvre de Pollock
Les propriétés du mouvement brownien sont des propriétés de nature fractale, selon le terme créé par le mathématicien Benoît Mandelbrot. Une fractale est un objet (ou un mouvement) dans lequel une section reproduit la forme ou les propriétés de l'ensemble. Le mouvement brownien a été maintes fois appliqué dans des domaines où la connaissance des processus probabilistes est utile comme en astrophysique, en biologie, en médecine ou en finance.
«On peut même prédire l'écoulement de l'eau à travers la mouture de café, soutient le professeur Saint-Aubin. À partir des propriétés globales comme la densité du café, on peut décrire précisément les propriétés fractales du chemin que suivra l'eau même s'il est impossible de savoir où se trouvent exactement les grains de café dans cet ensemble désordonné. L'étonnement est proche du sentiment esthétique!»
Ces mathématiques probabilistes ont aussi été appliquées directement au domaine artistique. Le physicien Richard Taylor a en effet observé, dans les œuvres du peintre expressionniste Jackson Pollock (1912-1956), des constantes fractales constituant une signature unique. Durant sa dernière période, l'artiste a créé plusieurs tableaux par jets de peinture sans toucher à la toile. Les patrons ainsi tracés par une couleur donnée se répètent à plusieurs échelles et remplissent la toile comme le ferait un objet fractal.
«Ces patrons révèlent une dimension fractale qui, contrairement aux figures à deux dimensions, ne correspond pas à un nombre entier mais se situe entre 1 et 2, précise le professeur. Même si le tableau nous semble désordonné, notre cerveau est capable d'en tirer une expérience agréable à partir de ce désordre.»
Richard Taylor a aussi vu deux autres constantes fractales dans les toiles du peintre: à l'échelle de cinq centimètres, les formes seraient déterminées par les gestes désordonnés du peintre; entre un millimètre et cinq centimètres, elles seraient dues à la chute chaotique des gouttes de peinture.
Plus récemment, le physicien a étendu sa méthode d'analyse à 24 tableaux de Pollock découverts en 2003 et soupçonnés d'être des faux. À son avis, ces tableaux ne comportent pas la signature fractale de l'artiste et plusieurs personnes y auraient travaillé. Mais le débat n'est pas clos.
Faire émerger l'ordre du désordre est en fait le propre de toute découverte scientifique. Yvan Saint-Aubin résume d'ailleurs son propos en citant cet autre mathématicien célèbre, Henri Poincaré: «Si un résultat nouveau a du prix, c'est quand, en reliant des éléments connus mais paraissant étrangers les uns aux autres, il introduit subitement l'ordre là où régnait l'apparence du désordre.»
Et le sentiment esthétique alors ressenti n'est pas réservé qu'aux objets mathématiques; le journaliste éprouve lui aussi une vive émotion en voyant un texte ordonné émerger d'un sujet aussi complexe et en apparence totalement chaotique.
Daniel Baril
