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Une vieille énigme mathématique bientôt résolue?

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C'est l'un des plus vieux problèmes mathématiques du monde. Il y a plusieurs siècles, la conjecture des nombres premiers jumeaux était formulée. Comme son nom l'indique, cette hypothèse, que plusieurs historiens des sciences attribuent au mathématicien grec Euclide, porte sur les nombres premiers, ces nombres divisibles seulement par eux-mêmes et par 1 (2, 3, 5, 7, 11...). Selon cette supposition, il existerait une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est égale à 2, appelés nombres premiers jumeaux (tels 3 et 5), mais personne n'a pu le valider jusqu'à présent.

En avril 2013, le mathématicien de l'Université du New Hampshire Yitang Zhang présentait une «version faible» de cette conjecture en prouvant qu'il existait une infinité de nombres premiers dont l'écart entre les deux nombres de la paire était inférieur à 70 millions.

Peu de temps après, James Maynard, postdoctorant au Centre de recherches mathématiques de l'Université de Montréal, allait encore plus loin, en réduisant l'écart à 600. Ce résultat représente un énorme progrès dans la quête visant à établir la conjecture des nombres premiers jumeaux et ravive une vieille question n'ayant pas progressé depuis des années.

Une approche plus simple

Comment ce jeune mathématicien de 26 ans, fraichement diplômé de l'Université d'Oxford, en est-il arrivé là? Grâce notamment aux travaux de sa thèse, il a trouvé un moyen d'améliorer et de simplifier la méthode de Yitang Zhang en remplaçant un outil qui estime la probabilité qu'un nombre soit premier. «Yitang Zhang et moi sommes partis du même point, mais nous avons pris des chemins totalement différents. La méthode que j'utilise est beaucoup plus simple.» À tel point que son directeur de recherche, Andrew Granville, affirme qu'elle «peut être enseignée dans un cours de troisième cycle».

Depuis, des centaines de chercheurs travaillent à réduire l'écart à 2 et ainsi attester la véracité de la célèbre conjecture. Sur la plateforme collaborative Polymaths, ils sont nombreux à déposer les résultats de leurs recherches. Dans cette discipline où les chercheurs sont habitués à travailler seuls, c'est une méthode de travail assez exceptionnelle. Ce que confirme James Maynard. «C'est assez inhabituel pour moi, qui ai l'habitude de travailler dans mon coin. Mais c'est vraiment intéressant de travailler en communauté.» Aujourd'hui, l'écart continue à diminuer grâce à ce travail collaboratif.

James MaynardDes nombres très utiles

Mais quel est l'intérêt d'en apprendre davantage sur les nombres premiers? Le commun des mortels l'ignore, mais ces nombres occupent une place importante dans nos vies quotidiennes. La cryptographie y a recours entre autres pour assurer la sécurité et la protection des données.  James Maynard prend l'exemple des achats sur Internet. «Lorsqu'on achète quelque chose en ligne, on entre dans l'ordinateur ses numéros de cartes de crédit, mais il y a des risques de piratage. Ce sont les nombres premiers qui protègent nos données. Toute la sécurité bancaire des sites de vente est basée sur les nombres premiers.»

De plus, élargir nos connaissances sur les nombres premiers pourrait nous permettre de résoudre des problèmes complexes dans d'autres disciplines telles que l'ingénierie ou la chimie.

Bientôt la fin de l'énigme?

Arrivera-t-on un jour à démontrer la véracité de la conjecture des nombres premiers jumeaux en employant la «méthode Maynard»? «J'adorerais ça, mais je pense que non. Il y a de grosses difficultés à résoudre ce problème. Avec ma méthode, on devrait pouvoir atteindre un écart de 6. Mais il faudra une autre approche pour arriver à 2. Je suis persuadé que l'hypothèse est vraie, il y a de très bonnes raisons de le penser.»

La démarche mathématique proposée par James Maynard fait en tout cas beaucoup parler. Elle devrait bientôt être publiée dans un journal scientifique et les réactions des chercheurs en mathématiques sont positives. Le jeune mathématicien a reçu de nombreux messages de félicitations et d'encouragement de la part de ses pairs. Sa méthode devrait en effet pouvoir être utile pour dénouer d'autres problèmes mathématiques.

Andrew Granville estime que le résultat de James Maynard est un «grand progrès dans notre compréhension des nombres premiers, progrès que nous aurions pensé impossible il y a encore un an».

Et celui qui a la bosse des maths depuis qu'il est tout petit ne compte pas s'arrêter là! Amateur de casse-têtes et de jeux de raisonnements, James Maynard sait que les nombres premiers présentent encore de nombreux mystères sur lesquels se pencher.

Benjamin Augereau
Collaboration spéciale

 

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